Anlık eğim (türev): f′(a) = limh→0 [f(a + h) − f(a)] / h
Önce f(a) tanımlı olmalı; yoksa oran kurulamaz.
Soldan ve sağdan oranlar aynı sayıya yaklaşmalı. Keskin zirvede bu olmaz.
Problem
Problem
Türev bir limittir. Limit ve süreklilik konusunu “Limit ve süreklilik” sayfasında dere, karınca ve elektrik kablosu sahneleriyle çalışabilirsin.
[f(a + h) − f(a)] / h oranı, a ile a + h arasındaki ortalama değişimdir (kesenin eğimi). h → 0 iken bu oranın limiti f′(a), yani teğetin eğimidir. Konum fonksiyonunun türevi anlık hızdır. Kural: (xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹.
Önce f(a) tanımlı olmalı. Tanımlı olsa bile fonksiyon süreksizse ya da keskin bir köşe varsa (soldan ve sağdan eğimler farklıysa) türev yoktur. f(x) = 1 − 0,25|x| − 0,035x² dağında zirvede soldan eğim +0,25, sağdan eğim −0,25’tir.
f′ > 0 olan aralıkta f artan, f′ < 0 olan aralıkta azalandır. f′ işareti + iken − olursa yerel maksimum, − iken + olursa yerel minimum vardır. Kapalı aralıkta en büyük ve en küçük değer için kritik noktalarla birlikte uç noktalar da kontrol edilir. 30 cm’lik kartondan en büyük hacimli kutu x = 5 cm kesilerek elde edilir: 2000 cm³.
Hayır. |x| fonksiyonu 0’da süreklidir ama köşe yaptığı için türevi yoktur. Tersine, türevli her fonksiyon süreklidir.
Zirve keskinse soldan gelen eğim ile sağdan gelen eğim farklıdır. Türev tek bir sayı olmalıdır; iki farklı eğim varsa tek bir teğet çizilemez.
En büyük ya da en küçük değer bazen f′ = 0 olan yerde değil, aralığın ucunda olur. Bu yüzden kritik noktalardaki ve uçlardaki değerler karşılaştırılır.
x = 15 cm kesilirse 30 − 2x = 0 olur; kutunun tabanı kalmaz. Bu yüzden 0 < x < 15 aralığında çözüm aranır.